Benjamins Blog

Das Spiel „Pick15“ hat folgende einfachen Regeln:

Zwei Spieler wählen nacheinander und abwechselnd Zahlen aus dem Bereich von 1 bis 9 aus. Hat ein Spieler eine Zahl gewählt, so wird diese gestrichen und kann weder von diesem Spieler noch von seinem Gegenspieler ein weiteres Mal gewählt werden. Derjenige Spieler, der als erstes mit drei gewählten Zahlen die Summe 15 bilden kann, hat gewonnen. Wurden alle Zahlen gestrichen, ohne dass einer der beiden Spieler durch die Aufsummierung drei seiner Zahlen der Wert 15 bilden kann, so geht das Spiel unentschieden aus.

Ein Spieldurchlauf könnte so aussehen:

1 2 3 4 5 6 7 8 9
A:
B:

1 2 3 4 5 6 7 8 9
A: 8
B:

1 2 3 4 5 6 7 8 9
A: 8
B: 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9
A: 8 4
B: 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9
A: 8 4
B: 2 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9
A: 8 4 5
B: 2 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9
A: 8 4 5
B: 2 3 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9
A: 8 4+5+6 (=15)
B: 2 3 9

An sich ein einfaches Spiel mit simplen Regeln, jedoch ist das Spielen überraschend anstrengend, selbst wenn man eine Möglichkeit hat, die Zwischenergebnisse aufzuschreiben. Wieso ist das so?
Der mentale Aufwand, die eigenen Zahlen sowie die des Gegenübers zu erfassen und daraus mögliche Summen zu bilden ist sehr hoch. Die Vorbereitung des nächsten eigenen Schrittes sowie die Antizipation möglicher Schritte des Gegners vervielfacht die mentale Belastung und ist sehr fehlerträchtig. Es fehlen Analogien zu alltäglichen Handlungsschritten, mentale Abkürzungen oder sonstige Erleichterungen, die Überlegungen müssen dediziert und bewusst durchgeführt werden.

Interessant wird es nun, wie sich die wahrgenomme Komplexität des Spiels ändert, wenn die Darstellung der wählbaren Zahlen angepasst wird, ohne das Spiel an sich zu modifizieren:

8|1|6
-+-+-
3|5|7
-+-+-
4|9|2

Dieses Schema (zufälligerweise ein magisches Quadrat) sollte nun jedem bekannt sein, denn mithilfe dieser Darstellung wurde das ursprüngliche Spiel in das Spiel „Tic Tac Toe“ umgewandelt, welches selbst für Kindergartenkinder ohne jegliches mathematisches Wissen spielbar ist.

Wichtig ist an dieser Stelle festzuhalten, dass beide Spiele aus theoretischer Sicht isomorph sind, das heißt das selbe Problem lösen. Die Spielbäume beider Spiele sind ebenfalls isomorph, in beiden Fällen gibt es 255.168 mögliche Spielabläufe, von denen jeweils 131.184 vom beginnenden Spieler, 77.904 vom zweiten Spieler gewonnen werden können sowie 46.080 Möglichkeiten eines unentschiedenen Ergebnisses.

Doch wieso ist die zweite Variante so viel einfacher zu überschauen für einen menschlichen Spieler? (Für ein Computerprogramm liegen beide Problemdarstellungen aufgrund der Isomorphie logischerweise auch in der gleichen Komplexitätsklasse, nämlich PSPACE-komplett.)

Es entfallen jegliche mathematischen Berechnungen. Korrekte und falsche Zahlentupel können direkt, in diesem Fall visuell, durch Symmetrien wahrgenommen werden. Dies ist eine unbewusste, alltägliche Handlung ohne große mentale Belastung. Alle Tripel die sich auf einer horizontalen, vertikalen oder diagonalen Geraden befinden, stellen ein korrektes Ergebnis dar.

Die Transformation eines kompliziert wirkenden Spiels in ein bekanntes, einfaches Spiel nur aufgrund der Änderung der Darstellung des Problems zeigt, wie wichtig die Repräsentation nach außen hin für die Benutzbarkeit ist. Dies lässt sich direkt auch auf Bereiche wie Benutzeroberflächen übertragen. Denn als Benutzer versucht man immer, ein mentales Modell zu bilden, unabhängig davon, wie das eigentlich Systemmodell des Objektes aussieht (meist hat man auch gar keine Möglichkeit, dieses zu erfahren). Misslingt das Erstellen eines mentales Modells, wird die Benutzung nicht nur sehr ermüdend und anstrengend, sondern auch schnell frustrierend und fehlerträchtig. Durch ein ansprechendes, intuitives Modell der Schnittstelle zwischen Benutzer und Objekt kann man jedoch dem Benutzer helfen, korrekte mentale Modelle zu bilden und damit die Benutzbarkeit erheblich verbessern.

Zugegebenermaßen ist es oft nicht gerade einfach, ein solches Modell durch eine entsprechende Schnittstelle zum Benutzer hin zu sugerieren, doch das Beispiel von Pick15 sollte deutlich machen, welche extremen Verbesserungen erzielt werden können.

Weiterführende Literatur: The Psychology of Everyday Things, Donald A. Norman (1988); Cleve Moler - Tic Tac Toe Magic, MathWorks (PDF)

Es ist immer wieder interessant zu sehen, wir schwer wir Menschen uns damit tun, Wahrscheinlichkeiten korrekt einzuschätzen. Ein einfaches Beispiel hierfür ist das Einschätzen von Wahrscheinlichkeiten beim Würfeln:

Ist es wahrscheinlicher, sechs mal hintereinander eine Sechs zu würfeln (6-6-6-6-6-6), oder eher die Folge 4-2-1-6-1-3?

Intuitiv würden viele Menschen die gemischte Folge für wahrscheinlicher halten, obwohl für beide Folgen die Wahrscheinlichkeit (1/6)^6 (= ~0,017%) gilt. Psychologen sprechen hier auch von einer Repräsentativitätsheuristik, die Menschen anwenden, wenn sie innerhalb kurzer Zeit Probleme lösen sollen, für die sie keine vollständige Problemrepräsentation und Lösung erstellen können und sich deswegen auf eigene Erfahrungswerte verlassen.

Ein noch interessanteres Beispiel ist das sogenannte Boy-Girl-Paradoxon:

Man wähle eine zufällige Familie mit zwei Kindern, deren älteres Kind ein Junge ist. Wie hoch ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass das jüngere Kind ein Mädchen ist?

Richtigerweise wird hier oft die Chance auf 50% eingestuft, bei Vernachlässigung von Faktoren wie der biologisch und genetisch bedingten Geschlechterverteilung bei Geburten.

Bei einer leichten Modifizierung der Frage, passiert nun etwas Unerwartetes:

Man wähle eine zufällige Familie mit zwei Kindern, von denen mindestens ein Kind ein Junge ist. Wie hoch ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass das andere Kind ein Mädchen ist?

Viele Menschen würden auch hier die Chancen auf 50:50 einstufen. Jedoch ist dieses Ergebnis nicht korrekt, tatsächlich ist die Wahrscheinlichkeit für ein Mädchen hier 2/3. Für eine Familie mit zwei Kindern ergeben sich folgende vier Permutationen: Junge-Junge, Junge-Mädchen, Mädchen-Junge sowei Mädchen-Mädchen. Aufgrund der Tatsache, dass mindestens ein Junge in der Familie vorhanden ist, kann der letzte Fall gleich ausgeschloßen werden. Somit bleiben noch drei Möglichkeiten übrigen, von denen zwei ein Mädchen beinhalten.

Bei dieser modifizierten Frage scheitert man schnell an der so genannten A-priori-Wahrscheinlichkeit und der bedingte Wahrscheinlichkeit, nämlich dass es eigentlich um zu zwei Ereignisse geht, von denen eines das andere bedingt. Interessierte finden hier eine Einführung in das eng damit verwandte Theorem von Bayes. Dieses Theorem sorgt im Übrigen dafür, dass weniger Spam in der einer Mailbox ankommt, weil man damit die Wahrscheinlichkeit von Spam berechnen kann.

Proseminar Mensch-Computer-Interaktion

Die Teilnahme an einem Proseminar im Grundstudium ist eine Seminar-Einführung, wobei der Schwerpunkt auf wissenschaftlichem Schreiben und Arbeiten liegt. In diesem Fall dienten Ergebnisse der ACM SIGCHI Conference 2006 als inhaltliche Basis.



Das Thema meines Beitrages war Perspective Cursor, eine Interaktionstechnik für Multi-Display-Umgebungen. Als weiterführende Quellen gibt es im Internet das Original-Paper sowie eine Video-Demonstration.
Sowohl für die Ausarbeitung als auch für den Vortrag nutze ich LaTeX, für erstere die LLNCS-Vorlage, für den Vortrag LaTeX Beamer. Aus Kompatibilitätsgründen mussten die eingebetteten Videosequenzen im Vortag im WMV-Format abgespeichert werden.

Grundlagen der Gestaltung II - Visualisierung linearer Transformationen

Ziel der zweiten Vorlesung "Grundlagen der Gestaltung" war die Gestaltung von Benutzerintefaces. Hierbei sollten unter anderem lineare Transformationsreihen aus dem vorherigen Semester in der Fläche animiert werden.



Bei dieser Aufgabe erstellte ich mit Processing, einem Java-Derivat insbesondere für multimediales Rapid Prototyping, ein kleines Programm, dass nicht nur voreingestellte Reihen und Permutationen abspielt, sondern es dem Benutzer ermöglicht, auch ohne Programmierkenntnisse eigene Medien hinzuzufügen und interaktiv mit den Mustern und Transformationsreihen zu experimentieren.
Weitere Informationen hierzu stehen in der Dokumenation.

Prüfungsprotokoll Mathematik-Vordiplom

Mein eigenes Prüfungsprotokoll zur mündlichen Mathematik-Vordiplomsprüfung bei Dr. Baur bekommt ihr genau wie alle anderen Prüfungsprotokolle bei der Fachschaft Informatik im BECI-Büro.

...kann man als Informatiker wohl nie wirklich sagen. Trotzdem habe ich nun nach der erfolgreich bestandenen mündlichen Mathematikvordiplomsprüfung keine dedizierten Mathematik-Pflichtvorlesungen mehr. Allerdings werden mir schon im nächsten Semester sowohl Fouriertransformationen in Medialer Informatik als auch boolsche Algebra in Theoretischer Informatik begegnen. Trotzdem ist es ein schönes Gefühl, alle ausgeliehenen Mathematikbücher zurückzugeben und das ganze Material abzuheften und in irgendwelchen Ordnern verschwinden zu lassen.
Anfang nächster Woche werde ich als Helfer bei der Konferenz "Intelligent Environments" erstmal etwas ganz Anderes als Lernen machen, bevor ich mich danach wieder auf die nächste Vordiplomsprüfung vorbereiten darf, diesmal aber ... (Praktische) Informatik.

Wer auf eher mathematisch angehauchte Programmierrätsel steht, sollte einen Blick auf Project Euler werfen. Anders als bei den klassischen Portalen wie Sphere Online Judge oder acm UVA steht das Finden der korrekten Lösung zu einem bestimmen vorgegebenen Problem im Vordergrund und nicht die Ermittlung eines effizienten Algorithmuses für allgemeine Problemstellungen. Dadurch lassen sich die Aufgaben teilweise auch per Hand lösen.

Trotz vieler (zum Teil existenzieller) Unterschiede haben aktuelle Programmiersprachen doch eine breite Basis an grundlegend übereinstimmenden Funktionalitäten und Konventionen. Dies gilt insbesondere für die mathematischen Bibliotheken - könnte man meinen. Als ich kürzlich ein kleines Perl-Script in Java neuschreiben wollte, wurde ich jedoch eines Besseren belehrt. Konkret ging es um den Modulo-Operator (der den Rest einer ganzzahligen Division angibt) im Zusammenhang mit einen negativen Dividenden. Während in Perl -1 mod 7 = 6 ergab, wollte mir Java das Ergebnis des Terms als -1 angeben.
Hier mal eine kleine Liste der Ergebnisse in unterschiedlichen Programmiersprachen:
Perl: 6
Python: 6
Ruby: 6
PHP: -1
JavaScript: -1
Java: -1
Pascal: -1
.NET: -1
C++: -1

Grund dafür ist übrigens die Existenz zweier Methoden zur Berechnung - einer "mathematischen" und einer symetrischen.
Soviel zu Standards...